Kathetensatz und Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras und de Kathetensatz sind Sätze, die in rechtwinkligen Dreiecken gelten, und nur dort. Um das zu verstehen, sollte man eigentlich wissen was rechtwinklige Dreiecke sind und was eine Kathete ist. Deshalb ist hier noch einmal kurz, was ein einem Dreieck wie heißt.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist eines, das einen rechten Winkel, also einen von 90 Grad, beinhaltet. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180 Grad, d.h. wenn ich einen 90 Grad Winkel habe, bleiben für die anderen beiden Winkel zuammen weitere 90 Grad. Wenn ich also nicht einen Winkel mit 0° haben will, kann nur ein Winkel in einem Dreieck 90° haben. Also gibt es auch nur eine Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Diese Seite nennt man Hypotenuse, die anderen beiden Seite, die also an dem rechten Winkel anliegen heißen Katheten. In einer Zeichnung sieht das z.B. so aus:

dreieck

Egal wie das Dreieck liegt, die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse, die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen heißen Katheten.

Die beiden folgenden Sätze sagen etwas über das Verhältnis von Katheten und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck aus. Insbesondere der Satz des Pythagoras wird oft stumpf als Buchstabenkombination gelernt, ungefähr als "aquadratplusbquadratgleichcquadrat". Wer versucht Mathematik so auswendig zu lernen, hat kaum eine Chance einen Satz erfolgreich anzuwenden. Wer Mathematik begreift wird jedoch feststellen, dass sie gar nicht so schwer ist.


Der Kathetensatz

Der Kathetensatz benötigt neben Hypotenuse und Kathete noch eine weitere Strecke eines rechtwinkligen Dreiecks, nämlich die Höhe der Hypotenuse. In einem Dreieck hat jede Seite ine zu ihr gehörende Höhe. Diese steht senkrecht auf der entsprechenden Seite und endet im scheitelpunkt des gegenüberliegenden Winkels.
Die Höhe der Hypotenuse steht also senkrecht auf der Hypotenuse und endet im Scheitelpunkt des rechten Winkels. Gezeichnet sieht das z.B. so aus:

dreihoeh

Dabei bezeichnen die Buchstaben folgendes:
a und b bezeichnen offensichtlich die beiden Katheten.
c bezeichnet ebenso offensichtlicherweise die Hypotenuse.
h bezeichtnet die Höhe der Hypotenuse.
p bezeichnet einen Abschnitt der Hypotenuse, und zwar den auf der Seite, auf der auch a liegt. Deswegen nennt man p den zu a gehörenden Hypotenusenabschnitt.
Aus den gleichen Gründen nennt man q den zu b gehörenden Hypotenusenabschnitt.

Damit kommen wir endlich zu den Aussagen des Kathetensatzes. Man kann den Kathetensatz formulieren, ohne dabei ein konkretes Dreieck mit fertigen Bezeichnungen vor Augen zu haben. Das das erfahrungsgemäß schwieriger ist, folgt hier zuerst der Kathetensatz an einem bestimmten Dreieck.

Der Kathetensatz - Erste Formulierung
Sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b gegeben.

dreihoeh

Seien p und q die zu a bzw. zu b gehörigen Hypotenusenabschnitte. Dann gilt:
a2 = p · c
und
b2 = q · c. So lernen die meisten Schüler den Kathetensatz kennen. Es ist auch nicht falsch ihn sich so zu merken, aber er gewinnt mehr Bedeutung, wenn man sich überlegt, was diese Gleichungen bedeuten. Deshalb kommen wir nun zu einer erweiterten Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks, die ich die alles erklärende Skizze nenne. An dieser Skizze kann man sowohl den Kathetensatz sehen als auch aus ihm den Satz des Pythagoras herleiten. Man sollte sie sich also gut einprägen.

aeskizze

Man stellt sich also die folgenden Fragen vom geometrischen Standpunkt aus. Was bedeutet a2? Was bedeutet p · c? Was bedeutet b2? Was ist q · c?
Geometrisch gesehen ist a2 die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge a und b2 die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge b. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt seiner Seitenlängen, also ist p · c der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen p und c. Analog ist q · c der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen q und c.
Der Kathetensatz sagt etwas über Flächen aus, deren Seiten in einem ganz bestimmten Verhältnis stehen, weil sie aus demselben rechtwinkligen Dreieck stammen. Die Gleichheit bestimmter Flächen wird postuliert, nämlich so wie sie in der alles erklärenden Skizze auch farblich markiert sind.
a2 = p · c. b2 = q · c.

Damit kommen wir zum Kathetensatz - zweite Formulierung
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats mit der Seitenlänge einer Kathete gleich der Fläche des Rechtecks, dass durch die Hypotenuse und den zur Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt aufgespannt wird.

Mathematisch gesehen ist die zweite Formulierung reiner, weil kürzer, ohne Symbole und auf das Verständnis der Situation abzielend. Mathematik bedeutet nicht "aquadratgleichpmalc" auswendig zu lernen. Allerdings macht es auch keinen Sinn so zu tun, als müssten alle Schüler Freude an mathematischer Reinheit haben. Deshalb schlage ich aus pragamtischen Gründen vor, die alles erklärende Skizze zu lernen. Diese stellt ein Mittelding zwischen erster und zweiter Formulierung dar und umfasst alle Voraussetzungen und Aussagen.


Der Satz des Pythagoras

Wer die alles erklärende Skizze betrachtet und sich die Flächen der im obereb Abschnitt beschriebenen Flächen ansieht stellt fest, dass man die obere dunkelgrauen Fläche a2 und die obere hellgraue Fläche b2 zusammensetzen kann. Dabei kommt dann die links hellgraue und rechts dunkelgraue Fläche unter der Hypotenuse heraus. Betrachtet man diese letzte Fläche, so stellt man fest, dass sie der Fläche des Quadrats mit der Seitenlänge c entspricht. Damit hat man eigentlich schon alles, was man braucht um den Satz des Pythagoras zu formulieren und zu beweisen. Das wird hier jetzt noch mal etwas mathematischer formuliert.

Satz des Pythagoras - erste Formulierung
Seien a und b die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c. Dan gilt:
a2 + b2 = c2.

Wieso wurde das schon im ersten Abschnitt formuliert? (Ich empfehle, hierbei noch einmal auf dei alles erklärende Skizze zu sehen.) Es wurde im ersten Abschnitt überlegt, dass sich der Flächeninhalt des Quadrats mit Seitenlänge der Hypotenuse c zusammensetzen lässt aus den Flächen der Quadrate mit Seitenlänge der Hypotenusen a und b. Eine Fläche aus zwei anderen zusammenzusetzen bedeutet hier die beiden Flächen zu addieren. Das Quadrat mit Fläche c2 wird zusammengesetzt aus den Flächen a2 und b2. Also bedeutet das bei den hier gewählten Bezeichnungen
a2 + b2 = c2.

Was durch die Skizze und diese Erklärung angedeutet wird, macht dann auch den Beweis des Satzes des Pythagoras aus.
Wir befinden uns in einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten und den zu ihnen gehörigen Hypotenusenabschnitte. Also können wir den Kathetensatz anwenden. Wir wählen die Bezeichnungen der einzelnen Strecken so wie in der alles erklärenden Skizze. Dann gilt:
a2 = p · c
b2 = q · c.

Die Hypotenuse setzt sich aus ihren Abschnitten zusammen, also c = p + q.

Betrachten wir also die Summe der Flächen der Quadrate mit den Seitenlängen a bzw. b:

a2 + b2 Das ist die Summe der einzelnen Flächen der Quadrate.
= p · c + q · c Man ersetzt a2 und b2 durch p · c undqp · c aus dem Kathetensatz.
= c · (p + q) Jetzt wird c ausgeklammert.
= c · c = c2 Da die Hypotenusenabschnitte p und q zusammen die Hypotenuse ergeben, gilt c = p + q.
c · c ist aber auch gleich c2.


Damit ist bewiesen, dass a2 + b2 = c2.

Auch hier gibt es wieder eine mathematisch reinere Formulierung. Hier ist die
Satz des Pythagoras - zweite Formulierung
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Wie auch eben empfehle ich sich nicht den Satz des Pythagoras als "aquadratplusbquadratgleichcquadrat" zu merken. Wer sich eine Formel merken möchte, sollte sich lieber HYP2 = KAT12 + KAT22 merken. Das ist zwar komplizierter als a2 + b2 = c2, aber auch wesentlich aussagekräftiger. Auch hier empfehle ich die alles erklärende Skizze als Mittelweg. Wer diese Skizze vollständig zeichnen kann und die obige Herleitung des Satzes des Pythagoras begriffen hat, wird weniger Schwierigkeiten bei der Anwendung haben, als diejenigen, die von einem Dreieck erwarten, dass seine Hypotenuse c heißt.


Aufgaben zum Satz des Pythagoras und zum Kathetensatz

1.) Zeichne die alles erklärende Skizze. (Das ist die Skizze, die jedem sofort vor Augen sein sollte, wenn er die Worte Kathetensatz oder Satz des Pythagoras hört. Tipp: Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Höhe und die Quadrate der Seiten.)

2.) Der Kathetensatz gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Formuliere den Kathetensatz mit Hilfe der Bezeichnungen aus der alles erklärenden Skizze. (Hier sollen nicht nur zwei Formeln stehen ! Die beiden Gleichungen müssen natürlich auch dahin, aber man soll verstehen können, was sie bedeuten.)

3.) Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen From a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.

In einem                      Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die                                                         ) heiße      .
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die                                                         ) heißen       und      .
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet das:
In einem                      Dreieck gilt:
                                                                                                              
                                                                                                              

4.) Berechne die übrigen Stücke in einem rechtwinkligem Dreieck mit Hypotenuse c und restlicher Beschriftung wie in der alles erklärenden Skizze. Trage die Ergebnisse in die Tabelle ein:

a) b) c) d)
a 8 cm
b 6 cm 4 km
c 3,5 mm
p 0,7 mm 12 cm
q 2 cm
h 2,5 km

5.) Eine 4,2 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Auf dem Fußboden beträgt ihr Wandabstand 1,5 m. Wie hoch reicht die Leiter?

6.) Ein Tapezierer will nachprüfen, ob die Zimmerdecke rechtwinklig ist. Er misst die Länge mit 5,10 m , die Breite mit 3,60 m und die Diagonale mit 6,24 m. Zu welchem Ergebnis kommt er?

7.)

Berechene in diesem rechtwinkligen Dreieck die unbekannten Größen a, b und c. aufg7

8.) Berechne die Seitenhöhe sH und die Länge der Seitenkannte s. aufg8

9.) Ein Quader besitzt die Maße 4 cm, 3 cm und 6 cm. Berechne die Länge der Raumdiagonalen d. aufg9


Lösungen

1.) Zeichne die alles erklärende Skizze. (Das ist die Skizze, die jedem sofort vor Augen sein sollte, wenn er die Worte Kathetensatz oder Satz des Pythagoras hört. Tipp: Es geht um ein rechtwinkliges Quadrat, dessen Höhe und den Quadraten der Seiten.)

Die alles erklärende Skizze ist die Skizze, die einem sowohl den Kathetensatz (durch farbliche Markierung) als auch den Satz des Pythagoras (durch die Quadrate der Dreiecksseiten) veranschaulichen soll. Hier ist sie:

aeskizze


 

2.) Der Kathetensatz gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Formuliere den Kathetensatz mit Hilfe der Bezeichnungen aus der alles erklärenden Skizze. (Hier sollen nicht nur zwei Formeln stehen ! Die beiden Gleichungen müssen natürlich auch dahin, aber man soll verstehen können, was sie bedeuten.)

Hier folgt eine Lösung, wie ich sie ganz gerne gesehen hätte. Das muss wörtlich nicht so da stehen, aber der Inhalt sollte in seiner Vollständigkeit da sein.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b. Die Höhe des Dreiecks heiße h. Der zu a gehörende Hypotenusenabschnitt heiße p. Der zu b gehörende Hypotenusenabschnitt heiße q. Dann gilt:
Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt von Hypotenuse und dem zur Kathete gehörigen Hypotenusenabschnitt.
Mit den Bezeichnungen der alles erklärenden Skizze bedeutet das: a2 = c · p und b2 = c · q.


3.) Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.

In einem rechtwinkligen Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt) heiße c.
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen ) heißen a und b.
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet das: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten, oder in einer Formel ausgedrückt:
Hypotenuse2 = Kathete12 + Kathete22.
Kurz : HYP2 = KAT12 + KAT22
.


4.) Berechne die übrigen Stücke in einem rechtwinkligem Dreieck mit Hypotenuse c und restlicher Beschriftung wie in der alles erklärenden Skizze. Trage die Ergebnisse in die Tabelle ein (gegebene Längen normal, errechnete Längen kursiv):

a) b) c) d)
a 8 cm 1,57 mm 3,21 km 12,96 cm
b 6 cm 3,13 mm 4 km 5,29 cm
c 10 cm 3,5 mm 5,13 km 14 cm
p 6,4 cm 0,7 mm 2,01 km 12 cm
q 3,6 cm 2,8 mm 3,12 km 2 cm
h 4,8 cm 1,4 mm 2,5 km 4,9 cm
(Dank an Robin für die Korrekturen.)
 

Vorgehensweise
Bei solchen Aufgaben schreibt man sich hin, was man hat und was man sucht. Wer sich die Formeln nicht immer wieder aus der Zeichnung herleiten will, schriebt zusätzlich die anwendbaren Formeln hin. Erst dann fängt man an zu rechnen. Diese Reihenfolge lässt sich sehr leicht einüben (und damit automatisieren) und führt dazu, dass man bald anfängt, durch Verstehen die Formeln anzuwenden und nicht nur herumprobiert und zufällig auf den richtigen Lösungsweg kommt.
Der Beginn solcher Lösungen steht meistens fest, man hat z.B. nur eine Formel mit zwei bekannten Längen und einer unbekannten. Je mehr ich jedoch errechnet habe, desto mehr Formeln kann ich anwenden. Deshalb sind die hier angegebenen Lösungen nicht der einzige Lösungsweg.

zu a):
gegeben: a = 8 cm, b = 6 cm
gesucht: c, p, q, h
anwendbare Formeln: a2 + b2 = c2, a2 = c · p, b2 = c · q (Später kommt noch h2 + p2 = a2 dazu.)

Über den Satz des Pythagoras kömmt man an c, über den Kathetensatz an p und q. h erhält man wieder über den Satz des Pythagoras. Dabei muss man sich vor Augen halten, dass der Satz des Pythagoras nicht nur Aussagen über a, b, und c macht, sondern über rechtwinklige Dreiecke. Das Dreieck mit den Seiten p, h und a ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb gilt h2 + p2 = a2.

zu b):
Hier ein verkürzte Schreibweise für was man hat und was man sucht; die Einheiten sind weggelassen. Das kann man in der Rechnung machen, im Ergebnis müssen sie dann wieder hin.
c = 3,5, p = 0,7
a = ?, b = ?, q = ?, h = ?

Ich habe c und p gegeben. Damit kann ich q ausrechnen, denn q = c - p. Da c · ;p = a2 und c · ; q = b2 kann ich nun a und b ausrechnen. Dann fehlt mir noch h, was ich z.B. mit Pythagoras für das rechte Teildreieck mittels h2 = b2 - p2 bekomme.

zu c):
b = 4 , h = 2,5
a = ?, c = ?, p = ?, q = ?

Hier beginne ich mit dem linken Teildreieck. Da gilt der Satz des Pythagoras, also h2 + q2 = b2 und ich erhalte q, wenn ich nach q2 umstelle. Mittels c · q = b2 bekomme ich c. Da c = p + q kann ich direkt p = c - q ausrechnen. Mittels Satz des Pythagoras für das rechte Teildreieck oder für das große Dreieck berechne ich dann a.

zu d):
p = 12 , q = 2
a = ?, b = ?, c = ?, h = ?

Was nun? Ich habe nicht eine Formel, in der p und q auftaucht. Nachdem sich die Panikattacke gelegt hat, erkenne ich, das p und q zusammen mir die Seite c ergeben, d.h. p + q = c. Dann kann ich die Kathetensätze a2 = c · p und b2 = c · q anwenden, um a und b zu berechnen. h bekomme ich wie vorher über den Satz des Pythagoras angewandt auf eins der Teildreiecke.


5.) Eine 4,2 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Auf dem Fußboden beträgt ihr Wandabstand 1,5 m. Wie hoch reicht die Leiter?

Um mir Klarheit zu verschaffen, was hier geschieht, mache ich mir als erstes eine Skizze einer Leiter (ein Strich), die auf dem Fußboden steht (noch ein Strich) und an der Wand lehnt (noch ein Strich). Habe ich das getan, sollte dabei eine solche Zeichnung entstanden sein.

aufg5

Ich sehe ein rechtwinkliges Dreieck. Ich sehe zwei Katheten, von denen ich eine kenne; die nenne ich a. Die mir unbekannte Kathete nenne ich b. Ich sehe eine Hypotenuse, von mir c getauft, deren Länge ich auch kenne.
Ich kenne den Satz des Pythagoras, der mir sagt HYP2 = KAT12 + KAT22, oder hier a2 + b2 = c2. Mit Hilfe der Zahlen gibt das : 4,22 = b2 + 1,52. Nun ziehe ich 1,52 auf beiden Seiten der Gleichung ab und danach die Wurzel aus der Gleichung. So erhalte ich b = 3,92.

Also reicht die Leiter 3,92 Meter hoch.


6.) Ein Tapezierer will nachprüfen, ob die Zimmerdecke rechtwinklig ist. Er misst die Länge mit 5,10 m , die Breite mit 3,60 m und die Diagonale mit 6,24 m. Zu welchem Ergebnis kommt er?

Wieso misst der Tapezierer diese drei Längen? Eine Skizze gibt Einsicht:

aufg6

Wir sehen die Zimmerdecke von unten an. Ich soll Aufgaben zum Satz des Pythagoras lösen, also suche ich rechtwinklige Dreiecke. Die habe ich hier, mit den Katheten mit einer Länge 3,6 m und 5,1 m. Die Hypotenuse ist 6,24 m lang. Was hilft dem Tapezierer das?
Er will wissen, ob das Zimmer rechtwinklig ist. Ist dies der Fall, so gilt der Satz des Pythagoras, und hier würde das bedeuten, dass 3,62 + 5,12 = 6,242, da ja gilt HYP2 = KAT12 + KAT22. Gilt diese Zahlengleichung nicht, so ist die Decke nicht rechtwinklig.
Das rechnet man nach und erhält somit auf der linken Seite 38,97 und auf der rechten 38,93.
Also ist der Winkel rechts oben (und links unten, da es sich um das gleiche Dreieck handelt) fast rechtwinklig, aber nicht so ganz. Praktisch kann man also davon ausgehen, dass die Zimmerdecke rechtwinklig ist.


7.) Berechene in diesem rechtwinkligen Dreieck die unbekannten Größen a, b und c. aufg7

An dieser Aufgabe sieht man, dass es wenig sinnvoll ist, sich den Satz des Pythagoras anders zu merken als HYP2 = KAT12 + KAT22. Wer hier, ohne es verstanden zu haben, a2 + b2 = c2 anwenden will, steht dumm da. Das gleiche gilt auch für den Kathetensatz. Die alles erklärende Skizze verwendet andere Buchstaben, weshalb man hier den Kathetensatz in der Form "Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt von Hypotenuse und dem zur Kathete gehörigen Hypotenusenabschnitt." kennen muss.

Ich muss mich fragen, wie ich hier weiterkomme. Der Satz des Pythagoras wird mir zu anfangs nicht weiterhelfen, denn dort habe ich zu viele Unbekannte. Der Kathetensatz sagt mir, das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt von Hypotenuse und dem zur Kathete gehörigen Hypotenusenabschnitt. Die Katheten soll ich bestimmen, also könnte mir der Kathetensatz helfen. Dann müsste ich aber Hypotenusenabschnitt und Hypotenuse kennen. Die kenne ich allerdings. Also:

Ich nenne die Hypotenuse hier hyp, den linken Hypotenusenabschnitt hypl und den rechten Hypotenusenabschnitt hypr. Ich weiß, dass hyp = hypl + hypr = 10 + 20 = 30.

aufg7-2

Damit fehlt mir noch b. Für b verwende ich nun den Satz des Pythagoras, für eins der beiden Teildreiecke, denn dort ist b eine Kathete, die andere Kathete ist eine der beiden Hypotenusenabschnitte des großen Dreiecks, und die Hypotenusen der beiden Teildreiecke sind a und c, von mir gerade bestimmt.

Ich habe also b2 + 102 = a2.
Da a2 = 300 folgt nun, dass b2 = 300 - 100 = 200, damit ist b = 14,14.


8.)

Berechne die Seitenhöhe sH und die Länge der Seitenkannte s. aufg8

Wieder einmal: Es geht hier um Aufgaben um Thema Satz des Pythagoras und Kathetensatz. Also führt mein Lösungsweg sehr wahrscheinlich über rechtwinklige Dreiecke. Wer bis hierhin einigermaßen gut hingekommen ist, sollte mit den letzten beiden Aufgaben auch keine allzu großen Schwierigkeiten haben. (Die Einstellung sollte man sowieso entwickeln. Ich komme doch nicht so weit, um dann aufzugeben.) Schwer ist nicht die Rechnung hier, sondern auf die zündende Idee zu kommen.

Wenn ich diese Aufgabe lösen soll, muss ich mir einfallen lassen, wie ich sH und s in rechtwinklige Dreiecke bekomme, am besten in solche, wo ich die andern beiden Seiten kenne. Ich beschließe auch nicht einfach aus dem Bauch heraus, ob ich zuerst die eine oder die andere Größe bestimme. Ich denke darüber nach, was ich habe und was mir noch fehlt.

Soweit ich sehe, kann ich sH nur in ein rechtwinkliges Dreieck stopfen, nämlich in dass, was aus s, sH und einer halben Grundseite der Pyramide besteht.
Die halbe Grundseite ist kein Problem, die ist natürlich die Hälfte von 6 cm, also 3 cm lang. Dumm nur, dass ich s noch nicht kenne. Also muss ich s wohl zuerst bestimmen.

In welchem rechtwinkligen Dreieck steckt s? Das Dreieck mit zwei Mal s und einer Pyramiden Grundseite ist nicht rechtwinklig. Jetzt ist räumliche Vorstellungskraft gefordert, und die zeigt mir dann, dass s überhaupt nur in einem rechtwinkligen Dreieck ist, und das besteht aus dem Anfangs- und dem Endpunkt von s und dem Mittelpunkt der Grundseite der Pyramide. Die drei Eckpunkte sind also die Spitze der Pyramide, ein Eckpunkt der Pyramide und der Mittelpunkt der Grundfläche. Das Dreieck ist zur Klarheit mit der dritten Seite in die Skizze hier eingezeichnet.

aufg8-2

Die drei Seiten sind also meine gesuchte Seite s, die neue Linie auf dem Pyramidenboden und die Höhe der Pyramide von 10 cm. Hätte ich meine neue Linie, hätte ich ein rechtwinkliges Dreieck, mit dem rechten Winkel zwischen der Höhe der Pyramide und der neuen Linie, bei dem mir nur s unbekannt ist.

Die neue Linie auf dem Pyramidenboden ist aber nicht irgendeine Linie, sondern die Hälfte der Diagonale der Grundseite der Pyramide. Die Grundseite der Pyramide ist quadratisch mit Seitenlänge 6 cm. Also sieht die Grundseite mit ganzer Diagonale d drin so aus:

aufg8-3

Jetzt habe ich alles, was ich brauche, um s zu bestimmen. In dem erwähnten rechtwinkligen Dreieck aus s, der Höhe der Pyramide und der halben Diagonalen der Grundseite ist s die Hypotenuse. Dann habe ich also mittels Satz des Pythagoras:
s2 = 102 + 4,2452 = 118,02 also s = 10,86

Bleibt nur noch sHzu bestimmen. Zur Erinnerung: sH ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks weiterhin bestehend aus der Hypotenuse s = 10,86 cm und der anderen Kathete einer halben Grundseite der Länge 3 cm. Nach Satz des Pythagoras gilt dann hier also:

aufg8-4

Damit ist die Aufgabe gelöst.


9.)

Ein Quader besitzt die Maße 4 cm, 3 cm und 6cm. Berechne die Länge der Raumdiagonalen d. aufg9

Auch hier ist wieder räumliche Vorstellung gefragt. In welchem rechtwinkligen Dreieck steckt d ? Auch hier muss ich mir wieder eine Hilfslinie dazuzeichnen, und wieder handelt es sich um die Diagonale dg der Grundseite. Dann nehme ich noch die Höhe des Quaders (6 cm) und ich habe folgendes in die Skizze hinzugefügtes rechtwinkliges Dreieck:

quader2

Also muss ich zuerst dg bestimmen. dg ist die Hypotenuse des Dreiecks, das durch zwei Grundseiten aufgespannt wird. Also gilt nach Satz des Pythagoras:

dg2 = 32 + 42 = 25
Damit: dg = 5
Damit bestimme ich nun d, die Hypotenuse des Dreiecks bestehend aus h, dg und d. Auch hier gilt wieder nach Satz des Pythagoras:

d2 = h2 + dg2 = 62 + 52 = 61, also d = 7,81.

Damit ist die Aufgabe gelöst.